El Teorema de Bayes es una fórmula matemática para determinar la probabilidad condicional. En finanzas, el teorema de Bayes puede utilizarse para evaluar el riesgo de prestar dinero a posibles prestatarios. Las aplicaciones del teorema de Bayes están muy extendidas y no se limitan al ámbito financiero. Veamos entonces qué es el Teorema de Bayes, cómo se calcula y cómo aplicarlo mediante un par de ejemplos.
Qué es el Teorema de Bayes
El Teorema de Bayes, que debe su nombre al matemático británico del siglo XVIII Thomas Bayes, es una fórmula matemática para determinar la probabilidad condicional. La probabilidad condicional es la probabilidad de que se produzca un resultado, en función de que se haya producido un resultado anterior en circunstancias similares. El teorema de Bayes permite revisar las predicciones o teorías existentes (actualizar las probabilidades) a partir de pruebas nuevas o adicionales. En finanzas, el teorema de Bayes puede utilizarse para evaluar el riesgo de prestar dinero a posibles prestatarios. El teorema también se denomina Regla de Bayes o Ley de Bayes y es el fundamento del campo de la estadística bayesiana.
Para qué sirve el Teorema de Bayes
Las aplicaciones del teorema de Bayes están muy extendidas y no se limitan al ámbito financiero. Por ejemplo, el teorema de Bayes puede utilizarse para determinar la precisión de los resultados de pruebas médicas teniendo en cuenta la probabilidad de que una persona determinada padezca una enfermedad y la precisión general de la prueba. El teorema de Bayes se basa en la incorporación de distribuciones de probabilidad a priori para generar probabilidades a posteriori. En la inferencia estadística bayesiana, la probabilidad a priori es la probabilidad de que se produzca un suceso antes de recopilar nuevos datos. En otras palabras, representa la mejor evaluación racional de la probabilidad de un resultado concreto basada en los conocimientos actuales antes de realizar un experimento.
Cómo es la fórmula del Teorema de Bayes
La probabilidad posterior es la probabilidad revisada de que se produzca un suceso tras tener en cuenta la nueva información. La probabilidad posterior se calcula actualizando la probabilidad anterior mediante el teorema de Bayes. En términos estadísticos, la probabilidad posterior es la probabilidad de que se produzca el suceso A si se ha producido el suceso B. De este modo, el Teorema de Bayes da la probabilidad de que se produzca un suceso basándose en nueva información que esté o pueda estar relacionada con ese suceso. La fórmula también puede utilizarse para determinar cómo puede verse afectada la probabilidad de que se produzca un suceso por una nueva información hipotética, suponiendo que la nueva información resulte ser cierta.
Explicación de la fórmula del Teorema de Bayes.
Ejemplos de uso del Teorema de Bayes
A continuación voy a exponer dos ejemplos del Teorema de Bayes en los que el primer ejemplo aplica el teorema de Bayes a las pruebas de alcoholemia. El segundo ejemplo muestra cómo se puede derivar la fórmula en un ejemplo de inversión en acciones utilizando Nvidia (NVDA).
Ejemplo numérico del Teorema de Bayes
Como ejemplo numérico, imaginemos que hay una prueba de alcoholemia que tiene una precisión del 98%, lo que significa que el 98% de las veces, muestra un resultado positivo verdadero para alguien que ha tomado alcohol, y el 98% de las veces, muestra un resultado negativo verdadero para los no consumidores de alcohol. A continuación, supongamos que el 0,5% de las personas consumen alcohol. Si una persona seleccionada al azar da positivo en la prueba de alcoholemia, se puede hacer el siguiente cálculo para determinar la probabilidad de que la persona sea realmente consumidora de alcohol.
(0,98 x 0,005) / [(0,98 x 0,005) + ((1 – 0,98) x (1 – 0,005))] = 0,0049 / (0,0049 + 0,0199) = 19,76%.
El Teorema de Bayes muestra que, aunque una persona diera positivo en este escenario, existe aproximadamente un 80% de posibilidades de que no consuma alcohol.
Deducir la fórmula del teorema de Bayes
El Teorema de Bayes se deduce simplemente de los axiomas de la probabilidad condicional, que es la probabilidad de un suceso dado que ha ocurrido otro suceso. Por ejemplo, una simple pregunta de probabilidad puede ser: «¿Cuál es la probabilidad de que baje el precio de las acciones de Nvidia?». La probabilidad condicional lleva esta pregunta un paso más allá: «¿Cuál es la probabilidad de que el precio de las acciones de NVDA caiga dado que el índice Nasdaq (NDAQ) cayó antes?». La probabilidad condicional de A dado que B ha sucedido se puede expresar como: Si A es: «El precio de NVDA cae», entonces P(NVDA) es la probabilidad de que NVDA caiga; y B es: «el NDAQ ya ha bajado», y P(NDAQ) es la probabilidad de que el NDAQ haya bajado; entonces la expresión de probabilidad condicional se lee como «la probabilidad de que NVDA baje dado un descenso del NDAQ es igual a la probabilidad de que el precio de NVDA baje y el NDAQ baje sobre la probabilidad de un descenso del índice NDAQ.
P(NVDA|NDAQ) = P(NVDA y NDAQ) / P(NDAQ) P(NVDA y NDAQ) es la probabilidad de que tanto A como B ocurran. También es lo mismo que la probabilidad de que ocurra A multiplicada por la probabilidad de que ocurra B dado que ocurre A, expresada como P(NVDA) x P(NDAQ|NVDA). El hecho de que estas dos expresiones sean iguales conduce al teorema de Bayes, que se escribe como
si, P(NVDA y NDAQ) = P(NVDA) x P(NDAQ|NVDA) = P(NDAQ) x P(NVDA|NDAQ)
entonces, P(NVDA|NDAQ) = [P(NVDA) x P(NDAQ|NVDA)] / P(NDAQ). Donde P(NVDA) y P(NDAQ) son las probabilidades de que Nvidia y el Nasdaq caigan, sin tener en cuenta la una a la otra. La fórmula explica la relación entre la probabilidad de la hipótesis antes de ver la evidencia que P(NVDA), y la probabilidad de la hipótesis después de obtener la evidencia P(NVDA|NDAQ), dada una hipótesis para Nvidia dada la evidencia en el Nasdaq.